有限交差性を持つ閉部分集合族とフィルターの繋がり

必要性の証明 ($\implies$):
$\mathcal{A}$ が有限交差性を持つと仮定する。まず、$\mathcal{A}$ の要素の有限個の共通部分をすべて集めた族 $\mathcal{B}$ を以下のように構成する。 $$\mathcal{B} = \{A_1 \cap \dots \cap A_n \mid n \in \mathbb{N}, A_i \in \mathcal{A}\}$$ $\mathcal{A}$ が有限交差性を持つため、任意の $B \in \mathcal{B}$ に対して $B \neq \varnothing$ である。また、$\mathcal{B}$ の構成方法から、$\mathcal{B}$ は有限交差について閉じている（これをフィルター基底 (filter base) と呼ぶ）。

次に、$\mathcal{B}$ に含まれる集合を包含するような $X$ の部分集合をすべて集め、それを $\mathcal{F}$ とする。 $$\mathcal{F} = \{F \subset X \mid \exists B \in \mathcal{B} \text{ s.t. } B \subset F\}$$ この $\mathcal{F}$ がフィルターであることを示す。

1. $\mathcal{A}$ の有限部分族から作られる $B \in \mathcal{B}$ は $\varnothing$ ではないため、$\varnothing$ を含むような $B \subset \varnothing$ は存在せず、$\varnothing \notin \mathcal{F}$ である。また $B \subset X$ より $X \in \mathcal{F}$ である。
2. $F_1, F_2 \in \mathcal{F}$ とすると、ある $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ が存在して $B_1 \subset F_1$, $B_2 \subset F_2$ となる。$\mathcal{B}$ は有限交差で閉じているため、$B_1 \cap B_2 \in \mathcal{B}$ である。$B_1 \cap B_2 \subset F_1 \cap F_2$ であるから、$F_1 \cap F_2 \in \mathcal{F}$ となる。
3. $F \in \mathcal{F}$ かつ $F \subset G \subset X$ とすると、ある $B \in \mathcal{B}$ に対して $B \subset F \subset G$ となるため、定義より $G \in \mathcal{F}$ である。

$\mathcal{A} \subset \mathcal{B} \subset \mathcal{F}$ であるから、求めるフィルター $\mathcal{F}$ が構成できた。

十分性の証明 ($\impliedby$):
$\mathcal{A} \subset \mathcal{F}$ となるフィルター $\mathcal{F}$ が存在すると仮定する。$\mathcal{A}$ の任意の有限部分族 $\{A_1, \dots, A_n\}$ をとる。$A_i \in \mathcal{F}$ であり、フィルターは有限交差について閉じているため、$A_1 \cap \dots \cap A_n \in \mathcal{F}$ である。フィルターの定義より $\varnothing \notin \mathcal{F}$ であるため、$A_1 \cap \dots \cap A_n \neq \varnothing$ である。よって $\mathcal{A}$ は有限交差性を持つ。 $\blacksquare$

位相空間 $X$ において、閉集合族 $\mathcal{C}$ を考える。$\mathcal{U} = \{X \smallsetminus C \mid C \in \mathcal{C}\}$ とすると、各要素は開集合である。

$\bigcap_{C \in \mathcal{C}} C = \varnothing$ であることと、De Morganの法則より $X = \bigcup_{C \in \mathcal{C}} (X \smallsetminus C) = \bigcup \mathcal{U}$ となること（すなわち $\mathcal{U}$ が $X$ の開被覆であること）は同値である。

また、$\mathcal{C}$ の有限部分族 $\{C_1, \dots, C_n\}$ に対して $\bigcap_{i=1}^n C_i = \varnothing$ となることと、$X = \bigcup_{i=1}^n (X \smallsetminus C_i)$ となること（すなわち有限部分被覆を持つこと）も同値である。

したがって、「任意の開被覆が有限部分被覆を持つ」というコンパクト性の定義は、対偶をとることで「有限部分族の共通部分が常に空でない（FIPを持つ）ならば、全体の共通部分も空でない」という主張に完全に一致する。 $\blacksquare$

閉集合のFIPとフィルターの集積点の関係性：
点 $x \in X$ が部分集合 $A$ の閉包 $\overline{A}$ に属するための必要十分条件は、$x$ の任意の近傍 $V$ に対して $A \cap V \neq \varnothing$ となることである。この事実をフィルターの集積点の定義と見比べると、
「$x$ がフィルター $\mathcal{F}$ の集積点である」 $\iff$ 「任意の $F \in \mathcal{F}$ に対して $x \in \overline{F}$」 $\iff$ 「$x \in \bigcap_{F \in \mathcal{F}} \overline{F}$」
という完全な対応があることがわかる。これを踏まえて同値性を証明する。

($\implies$) コンパクト性からフィルターの集積点の存在：
$X$ をコンパクト空間とし、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の任意のフィルターとする。フィルターの各要素の閉包をとって新しい閉集合族 $\overline{\mathcal{F}} = \{\overline{F} \mid F \in \mathcal{F}\}$ を考える。
$\mathcal{F}$ はフィルターであるから有限交差性を持つ。すなわち任意の有限部分族 $F_1, \dots, F_n \in \mathcal{F}$ に対して $\bigcap_{i=1}^n F_i \neq \varnothing$ である。各 $i$ について $F_i \subset \overline{F}_i$ だから、当然 $\bigcap_{i=1}^n \overline{F}_i \neq \varnothing$ となる。よって閉部分集合族 $\overline{\mathcal{F}}$ は有限交差性を持つ。
定理3.2より、$X$ がコンパクトであるため、$\bigcap \overline{\mathcal{F}} \neq \varnothing$ である。この共通部分に含まれる点 $x$ をとれば、上記で確認した通り、$x$ は $\mathcal{F}$ の集積点である。

($\impliedby$) フィルターの集積点からコンパクト性：
任意のフィルターが集積点を持つと仮定する。有限交差性を持つ任意の閉部分集合族 $\mathcal{C}$ が与えられたとする。定理2.1より、$\mathcal{C}$ は有限交差性を持つので、$\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ となるフィルター $\mathcal{F}$ を生成できる。
仮定より、このフィルター $\mathcal{F}$ は少なくとも1つの集積点 $x$ を持つ。すなわち $x \in \bigcap_{F \in \mathcal{F}} \overline{F}$ である。
$\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ であるから、任意の $C \in \mathcal{C}$ は $\mathcal{F}$ の要素である。よって $x \in \overline{C}$ であるが、$C$ は閉集合なので $\overline{C} = C$ である。したがって $x \in \bigcap_{C \in \mathcal{C}} C$ となり、$\bigcap \mathcal{C} \neq \varnothing$ が示された。定理3.2より $X$ はコンパクトである。 $\blacksquare$